【题目】如图,椭圆
的左右焦点分别为的
、
,离心率为
;过抛物线
焦点
的直线交抛物线于
、
两点,当
时,
点在
轴上的射影为
。连结
并延长分别交
于
、
两点,连接
;
与
的面积分别记为
,
,设
.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线
的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
【答案】(1) ,
;(2)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ )由题意得得,根据点M在抛物线上得
,又由
,得
,可得
,解得
,从而得
,可得曲线方程。(Ⅱ )设
,
,分析可得
,先设出直线
的方程为
,由
,解得
,从而可求得
,同理可得
,故可将
化为m的代数式,用基本不等式求解可得结果。
试题解析:
(Ⅰ)由抛物线定义可得,
∵点M在抛物线上,
∴,即
①
又由,得
将上式代入①,得
解得
∴
,
所以曲线的方程为
,曲线
的方程为
。
(Ⅱ)设直线的方程为
,
由消去y整理得
,
设,
.
则,
设,
,
则,
所以, ②
设直线的方程为
,
由,解得
,
所以,
由②可知,用代替
,
可得,
由,解得
,
所以,
用代替
,可得
所以
,当且仅当
时等号成立。
所以的取值范围为
.
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【题目】2017年9月16日05时,第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地,它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动,距台风中心
千米以内的地区都将受到影响,若16日08时到17日08时,距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响,则
和
的值分别为(附:
)( )
A. B.
C.
D.
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【题目】经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80﹣2t(件),价格近似满足于 (元).
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式;
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
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【题目】如图,椭圆的离心率为
,顶点为
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是椭圆
上除顶点外的任意点,直线
交
轴于点
,直线
交
于点
.设
的斜率为
,
的斜率为
,试问
是否为定值?并说明理由.
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【题目】平面内动点P(x,y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于,若点P的轨迹为曲线E,过点Q
作斜率不为零的直线
交曲线E于点
.
(I)求曲线E的方程;
(II)求证: ;
(III)求面积的最大值.
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【题目】已知二次函数t满足f(0)=f(2)=2,f(1)=1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[﹣1,2]时,求y=f(x)的值域;
(3)设h(x)=f(x)﹣mx在[1,3]上是单调函数,求m的取值范围.
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【题目】如图椭圆的上下顶点为A、B,直线
:
,点P是椭圆上异于点A、B的任意一点,连结AP并延长交直线
于点N,连结BP并延长交直线
于点M,设AP、BP所在直线的斜率分别为
,若椭圆的离心率为
,且过点
,(1)求
的值,并求
最小值;(2)随着点P的变化,以MN为直径的圆是否恒过定点,若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由。
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【题目】传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
优秀 | 合格 | 合计 | |
大学组 | |||
中学组 | |||
合计 |
注: ,其中
.
0.10 | 0.05 | 0. 005 | |
2.706 | 3.841 | 7.879 |
(Ⅱ)若江西参赛选手共80人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
(Ⅲ)如果在优秀等级的选手中取4名,在良好等级的选手中取2名,再从这6人中任选3人组成一个比赛团队,求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.
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