Question

【题目】如图椭圆的上下顶点为A、B，直线： ，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连结AP并延长交直线于点N，连结BP并延长交直线于点M，设AP、BP所在直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为，且过点，（1）求的值，并求最小值；（2）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）， 的最小值为（2）

【解析】试题分析：（1）由题意可知，又，解出得到椭圆方程，设椭圆上点，代入椭圆方程，再由斜率公式，即可得到的值，设，求出，再由基本不等式求出的最小值；（2）设，则以为直径的圆的方程为，化简整理，若圆过定点，则有，化简整理，若圆过定点，则有，解出即可判断.

试题解析：（1）因为，所以此椭圆的方程是;

设点P的坐标为，有，所以,

设，则，可得;

不妨设，则，所以当且仅当时， 的最小值为；

（2）因为，则以M、N为直径的圆的方程为，即，因圆过定点，则有，解得，即定点为.