Question

【题目】已知二次函数t满足f（0）=f（2）=2，f（1）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，2]时，求y=f（x）的值域；
（3）设h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可设f（x）=a（x﹣1）2+1，因为f（0）=2，所以a（0﹣1）2+1=2，

解得：a=1，即f（x）=（x﹣1）2+1

（2）解：因为x∈[﹣1，2]，f（x）在[﹣1，1]为减函数，f（x）在[1，2]为增函数．

当x=1时，ymin=1．

当x=﹣1时，ymax=5．所以y=f（x）的值域是[1，5]

（3）解：因为h（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，

所以 或 ，即m≤0或m≥4．

综上：当m≤0或m≥4，h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是单调函数

【解析】（1）由题意可设f（x）=a（x﹣1）2+1，代值计算即可，（2）根据二次函数的图象和性质求解即可；（3）根据题意可知对称轴不在区间内即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对二次函数的性质的理解，了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．