【题目】已知椭圆 ,离心率
,它的长轴长等于圆
的直径.
(1)求椭圆 的方程;
(2)若过点的直线
交椭圆
于
两点,是否存在定点
,使得以
为直径的圆经过这个定点,若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由?
【答案】(1);(2)定点
.
【解析】试题分析:(1)利用配方法得到圆的圆心和半径,由此得到,结合
,
可求得椭圆的方程.(2)先从特殊情况出发,过
作斜率为
和斜率不存在的直线,求出两个特殊圆,这两个圆的交点为
,猜想存在点
,设出直线
的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,计算
,所以
,即以
为直径的圆经过这个定点
.
试题解析:
(1) 圆方程化为
,则圆的直径为
,由
得:
,所以椭圆
的方程:
.
(2)过点作斜率为
和斜率不存在的直线
交椭圆
的两个交点为直径的圆分别为
和
,这两个圆的交点为
.所以猜想存在点
,使得以
为直径的圆经过这个定点. 设直线
的方程为
,与椭圆
,联立方程组得:
,设交点
得,
,则
,所以
,即以
为直径的圆经过这个定点
.
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【题目】已知圆C的圆心在直线l:y=2x上,且经过点A(﹣3,﹣1),B(4,6).
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)点P是直线l上横坐标为﹣4的点,过点P作圆C的切线,求切线方程.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,点
是椭圆上任意一点,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点 (-4,0)任作一动直线
交椭圆
于
两点,记
,若在线段
上取一点
,使得
,则当直线
转动时,点
在某一定直线上运动,求该定直线的方程.
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【题目】如图所示, 是边长为3的正方形,
平面
与平面
所成角为
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)设点是线段
上一个动点,试确定点
的位置,使得
平面
,并证明你的结论.
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【题目】2017年9月16日05时,第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地,它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动,距台风中心
千米以内的地区都将受到影响,若16日08时到17日08时,距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响,则
和
的值分别为(附:
)( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知g(x)=﹣x2﹣3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是奇函数,且当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式.
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【题目】已知二次函数t满足f(0)=f(2)=2,f(1)=1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[﹣1,2]时,求y=f(x)的值域;
(3)设h(x)=f(x)﹣mx在[1,3]上是单调函数,求m的取值范围.
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