Question

【题目】设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

曲线上存在两点、满足题设要求，则点、只能在轴两侧．设，，则，运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到的范围．

解：假设曲线上存在两点、满足题设要求，

则点、只能在轴两侧．

不妨设，，

则，

是以为直角顶点的直角三角形，

，

即

若方程有解，存在满足题设要求的两点、；

若方程无解，不存在满足题设要求的两点、．

若，则代入式得：

即，而此方程无解，因此，此时，

代入式得：，

即

令，

则，

在，上单调递增，

，

的取值范围是．

对于，方程总有解，即方程总有解．

故答案为：．