Question

【题目】在如图所示的几何体中，底面是矩形，平面平面，平面平面，是边长为4的等边三角形，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)先证明平面，又，从而证明平面.即可得证.

(2)以的中点为为原点建立空间之间坐标系，标出点的坐标，求出平面的法向量为，平面的法向量代入公式即可求解.

（1）由底面为矩形可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面

因为平面MCD，平面MCD，所以平面MCD，

而平面平面，所以，所以平面.

又平面，所以.

（2）如图，设的中点为，过作交于.易知两两垂直，以为原点，分别以为，轴建立空间直角坐标系

则，，

所以，，

设平面的法向量为.

由可得可令，可得

设平面的法向量

由可得令，可得

则

易知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为