Question

【题目】设函数， .

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的最小值为，证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知， ， ， ，所以单调递减，又， ，所以存在，使得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减；所以，再证明出。

试题解析（1）的定义域为，

，

当时， ， 在上单调递增；

当时，当， ， 单调递减；

当， ， 单调递增；

综上，当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知， ，

即.

解法一： ， ，

∴单调递减，

又， ，所以存在，使得，

∴当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减；

∴ ，又，即， ，

∴ ，令，则在上单调递增，

又，所以，∴.

解法二：要证，即证，即证： ，

令，则只需证，

，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增；

所以 ，

所以，即.