Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（-a，0），且与椭圆相交于另一点B；
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB长为$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直线l的倾斜角；
（3）点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，列出方程组求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论．
（3）设直线l的方程为y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由此根据k=0和k≠0两种情况分类讨论经，能求出结果．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，
连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2×2b}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=4}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1．
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由（1）可知点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
代入椭圆方程，消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{1}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
从而${y}_{1}=\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$．
所以|AB|=$\sqrt{（-2-\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{4k}{1+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．
由|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，得$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直线l的倾斜角$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．
（3）由（1）可知A（-2，0）．设B点的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y=k（x+2），
于是A，B两点的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
由方程组消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{1}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，从而${y}_{1}=\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
设线段AB是中点为M，则M的坐标为（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是
$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（2，-y₀），由$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，得y₀=$±2\sqrt{2}$；
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{k}（x+\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）$，
令x=0，解得${y}_{0}=\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（x₁，y₁-y₀），
$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀）=$\frac{-2（2-8{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$（$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$）=$\frac{4（16{k}^{4}+15{k}^{2}-1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4，
整理得7k²=2，故k=$±\frac{\sqrt{14}}{7}$，解得${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．
综上${y}_{0}=±2\sqrt{2}$或${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆与直线位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、分类讨论思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．