Question

已知抛物线C：y=x²，从原点O出发且斜率为k₀的直线l₀交抛物线C于一异于O点的点A₁（x₁，y₁），过A₁作一斜率为k₁的直线l₁交抛物线C于一异于A₁的点A₂（x₂，y₂）…，过A_n作斜率为k_n的直线l_n交抛物线C于一异于A_n的点A_n+1（x_n+1，y_n+1）且知k_n=k₀ⁿ⁺¹（k₀＞0且k₀≠1）．
（1）求x₁，x₂以及x_n与x_n+1之间的递推关系式；
（2）求{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据直线的点斜式方程写出直线l₀的方程，与y=x²，联立方程组，求解得出x₁，同样地根据直线的点斜式方程写出直线l₁的方程，与y=x²，联立方程组，求解得出x₂，l_n方程与y=x²联立得x_n与x_n+1之间的递推关系式；
（2）由（1）应得出x_n+1=k₀^n+1_-x_n，利用此递推关系式求通项．

解答：解：（1）l₀方程为y=k_ox，与y=x²，联立，解得x₁=k_o，
且A₁（k_o，k₀²），则l₁方程为y-k₀²=k₀²（x-k_o），与y=x²，联立，解得x₂=k₀^2_-k_o，
l_n方程为y-x_n²=k₀ⁿ⁺¹（x-x_n），与y=x²联立得，x^2_-k₀ⁿ⁺¹x-x_n²+k₀ⁿ⁺¹x_n=0，显然x_n是方程的一个解，
由韦达定理解得x_n+1+x_n=k₀ⁿ⁺¹，
∴x_n+1=k₀^n+1_-x_n，此即为x_n与x_n+1之间的递推关系式；
（2）由（1）x_n+1=k₀^n+1_-x_n，
得x_n=k₀^n_-x_n-1
=k₀^n_-（k₀^n-1_-x_n-2）
=k₀^n_-（k₀^n-1_-（k₀^n-2_-x_n-3））
=…=k₀^n_-k₀^n-1₊k₀^n-2-…-k₀^{2_+（-1）k+1}k_o，（n≥2）
又n=1时，也适合上式，
所以{x_n}的通项公式为x_n=k₀^n_-k₀^n-1₊k₀^n-2-…-k₀^{2_+（-1）k+1}k_o

点评：本题考查数列通项公式求解，数形结合的思想，考查逻辑推理，运算求解能力．