Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C，过B作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F，
（1）求证：A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面 A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）首先建立空间直角坐标系，求出空间点的坐标，向量的坐标，进一步证明线面垂直．
（2）先求出平面的法向量，进一步利用d=

| AA1 • m |

| m |

求出距离．
（3）利用向量的夹角公式求解，但要注意用绝对值．

解答： 证明：如图建立空间直角坐标系A-xyz．
（1）A（0，0，0，），A₁（0，0，2），E（1，1，

1

2

），B（1，0，0），
D（0，1，0），C（1，1，0），
∴

A1C

=(1，1，-2)  

BE

=(0，1，

1

2

)  

DE

=(1，0，

1

2

)
∴

A1C

•

BE

=0   

A1C

•

DE

=0
即A₁C⊥BE  A₁C⊥DE 
∵BE∩DE=E  
∴A₁C⊥平面EBD
（2）设平面A₁B₁C的一个法向量为

m

=（x，y，z），
则∴，令z=1，得

m

=（0，2，1）．
∵

AA1

=（0，0，2），
所以，根据点到直线间的距离公式：d=

| AA1 • m |

| m |

=

2

5

5

．
（3）由（2）知，得

m

=（0，2，1）．
∵

ED

=（-1，0，-

1

2

）
设

ED

与

m

所成角为θ，则  sinθ=|cos＜

m

，

ED

＞|=

| m • ED |

| m |•| ED|

=

1

5

点评：本题考查的知识点；空间直角坐标系，线面垂直的判定低定理，向量垂直的充要条件，直线与平面所成的角，点面的距离公式，向量的夹角公式，属于高考常见题型．