Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[

π

4

，

π

3

]，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；
（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．

解答：证明：如图，

（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，
∴ABFD为矩形，AB⊥BF．
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE?面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD
又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．
以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，
则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，

a

2

）

BD

=(-1，2，0)，

BE

=(0，1，

a

2

)
平面BCD的法向量

n1

=(0，0，1)，
设平面EBD的法向量为

n2

=(x，y，z)，
由

n2 ⊥ BD n2 ⊥ BE

⇒

n2 • BD =0 n2 • BE =0

，即

-x+2y=0 y+ az 2 =0

，取y=1，得x=2，z=-

2

a

则

n2

=(2，1，-

2

a

)．
所以cosθ=

2 a

4+1+ 4 a2

=

2

5a2+4

．
因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[

π

4

，

π

3

]，
所以cosθ∈[

1

2

，

2

2

]，即

2

5a2+4

∈[

1

2

，

2

2

]．
由

2

5a2+4

≥

1

2

得：-

2 15

5

≤a≤

2 15

5

由

2

5a2+4

≤

2

2

得：a≤-

2 5

5

或a≥

2 5

5

．
所以a的取值范围是[

2 5

5

，

2 15

5

]．

点评：本题考查了面面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间坐标系，该题训练了学生的计算能力，是中档题．