Question

（本题满分12分）

设函数，，是的一个极大值点．

   （Ⅰ）若，求的取值范围；

   （Ⅱ） 当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列（其中=）依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．

Answer 1

解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．

   （Ⅰ）解：时，，

，

令，，

设是的两个根，

   （1）当或时，则不是极值点，不合题意；

   （2）当且时，由于是的极大值点，故

 ，即，

(Ⅱ)解：，

令，

，

于是，假设是的两个实根，且

由（Ⅰ）可知，必有，且是的三个极值点，

则，

假设存在及满足题意，

（1）当等差时，即时，

则或，

于是，即

此时

或

   （2）当时，则或

①若，则，

于是，

即

两边平方得，

于是，

此时，

此时=

②若，则，

于是，

即

两边平方得，

于是，

此时

此时

综上所述，存在b满足题意，

当b=－a－3时，，

时，，

时，.