[题目]如图.给定由个点组成的正三角形点阵.在其中任意取三个点.以这三点为顶点构成的正三角形的概率为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，给定由个点组成的正三角形点阵。在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为__________。

【答案】

【解析】

设正三角形点阵的凸包为正，边长为.

首先，计算正△DEF的个数，其中，D、E、F为上述正三角形点阵内的点.

如图，将AB、AC分别延长到点，使得.将分成n等份.

对正三角形点阵内任一点X，过X作AB、AC的平行线与的交点，并分别记为.

下面分两种情形.

1.正△DEF与正△ABC的对应边平行，则正△DEF与边上有序三点组一一对应，有个正三角形.

2.正△不与正△ABC对应边平行，作正△的外接正△DEF，使得正△DEF与正△ABC的对应边平行，则正△与边B’C’上有序四点组一一对应，有个正三角形.

综上，共有个正三角形.

从而，所求概率为.

故答案为：

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