Question

【题目】已知函数，其中a为正实数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；

【解析】

（1）根据函数，求导得到，然后根据，分讨论求解.

（2）由（1）得到若函数有两个极值点，，则，且，，代入，得到，要证，只需证，构造函数，用导数法结合零点存在定理证明即可.

（1）因为函数，

所以，函数的定义域为，

令，

①若，即时，则，此时的单调减区间为；

②若，即时，

令，得，

当或时，，

当时，，

此时的单调减区间为，，

单调增区间为.

（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，.

因为，

，

，

要证，只需证.

构造函数，

则，

在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，

由零点存在定理，可知在上唯一实根，且.

则在上递减，上递增，所以的最小值为

因为，

当时，，则，

所以恒成立.

所以，

所以，得证.