Question

【题目】离心率的椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上.过点的斜率为的直线与椭圆交于点、，且满足.

（1）固定，当的面积取得最大值时，求椭圆的方程；

（2）若变化，且，试问：实数和分别为何值时，椭圆的长轴长取得最大值？并求出此时椭圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）当，时，椭圆的长轴长取得最大值.此时，椭圆方程为

【解析】

设椭圆方程为.则由，得.

从而，椭圆方程化为.

设，且与椭圆的两个交点的坐标分别为、.

由，得 ①

联立直线和椭圆的方程得.

则，且

， ②

. ③

由式①、②得.

（1）当固定时，

，

其中，当且仅当，即时，上式等号成立.

此时，.

结合式①得，.

代入式③得.

此时，椭圆的方程为.

（2）由式①、②得

，

.

代入式③得

.

由，，得.

易知，当时，是的减函数，当时，取得最大值.

因此，当，时，椭圆的长轴长取得最大值.此时，椭圆方程为.