Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求证：时，；

（Ⅱ）当时，计论函数的极值点个数.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】

（Ⅰ）求出，令，求出，从而判断的单调性，由即可判断的正负情况，从而求得在递减，递增；当时，成立，命题得证。

（Ⅱ）对的范围分类讨论，由的单调性求得，把看作变量，求得的单调性，从而得到（当且仅当时取等号），再对的范围分类讨论的单调性，从而判断的单调性，从而求得极值点个数。

(Ⅰ)由，易知，设，则，当时，，又

∴时，，时，，即在递减，递增；所以当时，得证.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当时，当且仅当在处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为1；

当时，易知在递减，递增，所以，又设，其中，则对恒成立，所以单调递减，（当且仅当时取等号），所以当时，即在单调递增，故此时极值点个数为0；

当时，，在递增，又，所以当时，

当时，即总在处取得极小值；又当且时，，所以存在唯一使得，且当时，当时，则在处取得极大值；故此时极值点个数为2；

综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时的极值点个数为1.