Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)(2)

【解析】

（I）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数对应图像上与平行的切线方程，利用两平行线间的距离公式求得到直线距离的最小值.（II）（1）构造函数，利用的导函数，对分类讨论函数的单调性，结合求得的取值范围. （2）将分类常数，转化为，利用导数求得的最小值，由此求得的范围.结合（1）（2）可求得的的取值范围.

（Ⅰ）的定义域为，.

由题意，令，得，解得或（舍去），∵，

∴到直线的距离为所求的最小值.

（Ⅱ）（1）当，恒成立时，设，

.

①当即时，，，，

所以，即在上是增函数.

又，即，∴时满足题意.

②当即时，

令.因为，所以存在，使.

当时，，即，在上是减函数，，

∴时，不恒成立；

（2）当，恒成立时，.

设，，，，，，

∴在上是减函数，在上是增函数，，∴.

综上所述，的取值范围是.