【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)试判断函数的单调性;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求出原函数的导函数,然后对a分类,当a≤0时,<0,f(x)为R上的减函数;当a>0时,由导函数为0求得导函数的零点,再由导函数的零点对定义域分段,根据导函数在各段内的符号得到原函数的单调性;
(Ⅱ)分离参数t,可得恒成立.令,则问题等价于求解函数g(x)的最小值,然后利用导数分析求解函数g(x)的最小值得答案.
(Ⅰ)由题可得函数的定义域为,,
当时,因为,所以,所以函数在上单调递减;
当时,令,解得;令,解得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)当时,,
则不等式可化为,
因为不等式恒成立,所以原问题可转化为.
设,显然函数的定义域为,,
令,则恒成立,
所以函数在上单调递增,
又,所以当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,
故实数的取值范围为.
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【题目】某公司的甲、乙两名工程师因为工作需要,各自选购一台笔记本电脑.该公司提供了三款笔记本电脑作为备选,这三款笔记本电脑在某电商平台的销量和用户评分如下表所示:
型号 | |||
销量(台) | 2000 | 2000 | 4000 |
用户评分 | 8 | 6.5 | 9.5 |
若甲选购某款笔记本电脑的概率与对应的销量成正比,乙选购某款笔记本电脑的概率与对应的用户评分减去5的值成正比,且他们两人选购笔记本电脑互不影响.
(1)求甲、乙两人选购不同款笔记本电脑的概率;
(2)若公司给购买这三款笔记本电脑的员工一定的补贴,补贴标准如下表:
型号 | |||
补贴(千元) | 3 | 4 | 5 |
记甲、乙两人获得的公司补贴之和为千元,求的分布列和数学期望.
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【题目】2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行,此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”,旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识,为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”,为了响应世界海洋日的活动,2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试,并根据被测验学生的成绩(得分都在区间内)绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试求被测验大学生得分的中位数(保留到整数);
(2)若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”,现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励,最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.
①求所抽取的3人不属于同一组的概率;
②记这3人中,为测试成绩在内的人数,求的分布列和数学期望.
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【题目】对n个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n的最小值,使得在这n个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.
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【题目】离心率的椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上.过点的斜率为的直线与椭圆交于点、,且满足.
(1)固定,当的面积取得最大值时,求椭圆的方程;
(2)若变化,且,试问:实数和分别为何值时,椭圆的长轴长取得最大值?并求出此时椭圆的方程.
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【题目】全体非负整数0,1,2,…,按其自然顺序组成一个小数 456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….问:是否为无理数?证明你的结论.
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【题目】已知圆的方程,从0,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数中选出3个不同的数,分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径.问:
(1)可以作多少个不同的圆?
(2)经过原点的圆有多少个?
(3)圆心在直线上的圆有多少个?
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【题目】袋子中有四个小球,分别写有“海”“中”“加”“油”四个字,有放回地从中任取一个小球,取到“加”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“海”“中”“加”“油”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计,直到第二次就停止概率为( )
A.B.C.D.
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