Question

【题目】全体非负整数0，1，2，…，按其自然顺序组成一个小数 456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….问：是否为无理数？证明你的结论.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

是无理数.

首先，由自然数有无穷多知为无限小数，只须正明其不是循环小数（用反证法）.

若不然，设为有理数，即为无限循环小数，记是第1个最短循环节，而这个循环节之前是一个位小数0.，有.

由的构成，知，且，，…，不全相等.特别地，，，…，不能全是9.

现将循环节接长，使其数码的个数超过，即取，找出由个循环节组成的自然数，并在中找出的原始位置.

由，知该位置一定出现在的后面，即.

考虑的后继自然数.

一方面，由中的各个数码不全为9，知仍由个数码组成，即

，

无论是否进位，个位数都不会等于.

另一方面，由循环小数知的后面个数不变，产生矛盾：.

所以，必为无理数.