【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
的普通方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）直线与曲线在第一象限内的交点为
，过点的直线
交曲线于
两点，且
的中点为，求直线的斜率.
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【题目】设椭圆
(
)的左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
，
两点，若椭圆
的离心率为
，
的周长为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦
的直线交椭圆于点
，
，设弦，
的中点分别为
，证明：
三点共线.
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【题目】
如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点.
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成
两组，每组100只，其中
组小鼠给服甲离子溶液，
组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
”，根据直方图得到
的估计值为
.
（1）求乙离子残留百分比直方图中
的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
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【题目】给出以下四个说法：
①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数
的值越大，说明拟合的效果越好；
③在回归直线方程
中，当解释变量
每增加一个单位时，预报变量
平均增加
个单位；
④对分类变量
与
，若它们的随机变量
的观测值
越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．
其中正确的说法是
A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③
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【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点
，直线与曲线交于不同的两点
、
，求
的值.
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【题目】某公司的甲、乙两名工程师因为工作需要，各自选购一台笔记本电脑.该公司提供了
三款笔记本电脑作为备选，这三款笔记本电脑在某电商平台的销量和用户评分如下表所示：
型号 |
|
|
|
销量（台） | 2000 | 2000 | 4000 |
用户评分 | 8 | 6.5 | 9.5 |
若甲选购某款笔记本电脑的概率与对应的销量成正比，乙选购某款笔记本电脑的概率与对应的用户评分减去5的值成正比，且他们两人选购笔记本电脑互不影响.
（1）求甲、乙两人选购不同款笔记本电脑的概率；
（2）若公司给购买这三款笔记本电脑的员工一定的补贴，补贴标准如下表：
型号 |
|
|
|
补贴（千元） | 3 | 4 | 5 |
记甲、乙两人获得的公司补贴之和为
千元，求的分布列和数学期望.
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【题目】全体非负整数0，1，2，…，按其自然顺序组成一个小数
456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….问：
是否为无理数？证明你的结论.
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