Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线交于不同的两点、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程；（2）

【解析】

（1）可通过直线的参数方程求出直线的普通方程，然后使用极坐标与直角坐标之间的相互转化求出曲线的直角坐标方程；

（2）首先可根据直线的倾斜角以及点坐标设出直线的参数方程，然后将其带入曲线的方程中并求出的值，最后根据参数的几何意义求出。

（1）直线的普通方程为，即，

根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，，

而，则，即

故直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程；

（2）点在直线上，且直线的倾斜角为，可设直线的参数方程为：

（为参数），代入到曲线的方程得：，

，，

由参数的几何意义知，故。