Question

正方形ABCD（图1）中，AB=2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED及△DCF折起（如图2），使A、C点重合于A'点．
（1）证明：A′D⊥EF； 
（2）证明：平面A′FD⊥平面A′ED；
（3）求A′D与平面DEF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由折叠前后的角度不变得到A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，然后利用线面垂直的判定得到A′D⊥面A′EF，从而得到答案；
（2）要证平面A′FD⊥平面A′ED，只要证明平面A′FD经过面A′ED的一条垂线A′F即可，利用△BEF≌△A′EF得到A′E⊥A′F，结合（1）可证得结论；
（3）先证出面A′OD⊥面DEF，然后找出线面角，通过解直角三角形求解A′D与平面DEF所成角的正切值．

解答：（1）证明：∵ABCD是正方形，而折叠前后的角度不变，
∴A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
由

A′D⊥A′E A′D⊥A′F A′E∩A′F=A′

⇒A′D⊥面A′EF⇒A′D⊥EF；
（2）证明：∵BE=A′E，BF=A′F，EF=EF．
∴△BEF≌△A′EF，
∵∠EBF=90°，
∴A′E⊥A′F，
又由（1）知A′F⊥A′D，
A′D∩A′E=A′．
∴A′F⊥面A′ED⇒面A′FD⊥面A′ED；
（3）解：设BD∩EF=O，则O为EF中点，且EF⊥BD．
∴

EF⊥OA′ EF⊥OD OA′∩OD=O

⇒EF⊥面A′OD⇒面A′OD⊥面DEF，
作A′H⊥OD于H，则A′H⊥面DEF，
∴∠A′DH为A′D与面DEF所成的角且等于∠A′DO，
在Rt△A′OD中，A′D=2，A′O=BO=

2

2

，
∴tan∠A′DO=

A′O

A′D

=

2

4

．

点评：本题考查了直线与直线处置的判定，考查了直线与平面垂直的判定和性质，解答该题的关键在于明确折叠前后的变量和不变量，是中档题．