Question

【题目】已知圆：，动圆过定点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）设斜率为1的直线交于，两点，交轴于点，轴交于，两点，若，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据圆与圆的位置关系得出圆与圆相内切,曲线是以点，为焦点的椭圆,继而求得轨迹方程;

（2）设：，，，则，与联立得.根据根与系数的关系和两点的距离公式可得出,由根的判别式得出的范围,可得出实数的值.

（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，故圆与圆相内切.

设圆的半径为，则，，从而.

因为，所以曲线是以点，为焦点的椭圆.

由，，得，故的方程为.

（2）设：，，，则，

，.

与联立得.

当时，即时，.

所以.

由（1）得，所以.

等式可化为.

当且时，.

当时，可以取任意实数.

综上，实数的值为.