Question

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为

5

5

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且|MN|=

16

9

5

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由短轴长可得b值，由离心率为

5

5

可得

c

a

=

5

5

，结合a²=b²+c²即可求得a值，即可得出椭圆的方程；
（2）设直线方程为：y=k（x+1），联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理及弦长公式即可表示弦长|MN|，最后利用弦长建立等式，即可求出直线l的方程．

解答：解：（1）b=2，c=1，a=

5

，椭圆的标准方程：

x2

5

+

y2

4

=1
（2）由题意知，直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y=k（x+1），
{，

y=k(x+1) x2 5 + y2 4 =1

，联立得：（5k²+4）x²+10k²x+5k-20=0，
∴x1+x2=

-10k2

5k2+4

，x1x2=

5k-20

5k2+4

则：(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=

100k4

(5k2+4)2

-

4(5k-20)

5k2+4

=

20×16(k2+1)

(5k2+4)2

，
∵MN=

1+k2

|x1-x2|，
∴MN2=(1+k2)(x1-x2)2
即：

265×5

81

=(1+k2).

20×16(k2+1)

(5k2+4)2

即：

(k2+1)2

(5k2+4)2

=

4

81

，

(k2+1)

(5k2+4)

=

2

9

所以，k=±1，所以直线方程为：y=x+1或y=-x-1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，弦长公式及韦达定理是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握．