Question

已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0），对一切θ∈[0，

π

2

]都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：根据奇函数f（x）的定义域为R，可求得f（0）=0，再利用f（x）在[0，+∞）上是增函数，可将f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）化为cos²θ-mcosθ+2m-2＞0，令t=cosθ构造函数
f（t），f（t）=t²-mt+2m-2，（0≤t≤1）．根据其对称轴与区间[0，1]的关系可分类讨论求得m的取值范围．

解答：解：设存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对一切θ∈[0，

π

2

]都成立，
∵奇函数f（x）的定义域为R，
∴f（0）=0，
∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）恒成立，
又∵f（x）在R上单调递增，
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，
∴2cos²θ-4＞2mcosθ-4m，
∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
设t=cosθ，由θ∈[0，

π

2

]可知t∈[0，1]，
∴f（t）=t²-mt+2m-2，（0≤t≤1）．
（1）当

m

2

≤0即m≤0时f（t）_min=f（0）=2m-2＞0，
∴m＞1（舍）  
（2）当

m

2

≥1即m≥2时f（t）_min=f（1）=m-1＞0，
∴m≥2；
（3）当0＜

m

2

＜1，即0＜m＜2时，f（t）_min=f（

m

2

）=-m²+8m-8＞0，
∴4-2

2

＜m＜4+2

2

，
∴4-2

2

＜m＜2．
综上所述，m＞4-2

2

．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查转化思想与分类讨论思想的应用，考查解不等式组的能力与运算能力，属于中档题．