【题目】已知是椭圆
:
的左焦点,O为坐标原点,
为椭圆上的点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点都在椭圆
上,且
中点
在线段
(不包括端点)上,求
面积的最大值,及此时直线
的方程.
【答案】(1);(2)
面积的最大值为1,此时直线
的方程为
【解析】
(1)依题意可得,求出
,即可得到椭圆
的标准方程;
(2)设,
,
,易知直线AB的斜率存在,设为k,将
两点坐标分别代入椭圆方程,所得两式相减,可得到
,进而可求出k的值,从而设出直线
的方程,并与椭圆方程联立,得到关于
的一元二次方程,分别表示出弦长
及点O到直线AB的距离
,从而可求得
面积的表达式,进而求出最大值,并求得此时直线的方程.
(1)依题意可得,
即,解得
,则
.
故椭圆的标准方程为
;
(2)设,
,
,
依题意可知,直线AB的斜率存在,设为k,
则,所以
,
即,
又,
,
,所以
,
又直线OP:,M在线段OP上,所以
,所以
.
设直线AB的方程为,
联立方程,可得
,
,,
,
且,即
,解得
,
所以,
,
又点O到直线AB的距离,
所以,
当且仅当,即
舍去
时,等号成立,此时直线方程为
.
所以面积的最大值为1,此时直线
的方程为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左焦点为
,
是椭圆上关于原点
对称的两个动点,当点
的坐标为
时,
的周长恰为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线
交椭圆于
两点,且
,求
面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
为
的中点.
(I)若为
上的一点,且
与直线
垂直,求
的值;
(Ⅱ)在(I)的条件下,设异面直线与
所成的角为45°,求直线
与平面
成角的正弦值.
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【题目】坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(
).
(1)写出直线的直角坐标方程与曲线
的普通方程;
(2)平移直线使其经过曲线
的焦点,求平移后的直线的极坐标方程.
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【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数),
,
为曲线
上的一动点.
(I)求动点对应的参数从
变动到
时,线段
所扫过的图形面积;
(Ⅱ)若直线与曲线
的另一个交点为
,是否存在点
,使得
为线段
的中点?若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某公司代理销售某种品牌小商品,该产品进价为5元/件,销售时还需交纳品牌使用费3元/件,售价为元/件,其中
,且
.根据市场调查,当
,且
时,每月的销售量
(万件)与
成正比;当
,且
时,每月的销售量
(万件)与
成反比.已知售价为15元/件时,月销售量为9万件.
(1)求该公司的月利润(万件)与每件产品的售价
(元)的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,该公司的月利润最大?并求出最大值.
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