Question

（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）为线段AE的中点，证明见解析。

（Ⅲ）arctan

解析:

本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：

（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，

平面平面，

所以⊥平面

所以⊥。

因为为等腰直角三角形，，

所以

又因为，

所以，

即⊥，

所以⊥平面。………………………………4分

（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

取BE的中点N，连接AN，MN，则MN∥＝∥＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE………………………………8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角

因为FA=FE, ∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=。

FG=AF·sinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

GH=BG·sinGBH=·=

在Rt△FGH中，tanFHG= =

故二面角F-BD-A的大小为arctan……………………………12分

解法二:

（Ⅰ）因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

 (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.

从而=（，）.

于是

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PM∥平面BCE………………………………8分

(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）

=(1，1，0)，

     即

去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）

取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）

故二面角F-BD-A的大小为……………………………………12分