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已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2,则不等式f(2x)<4x的解集为
{x|x>
1
2
}
{x|x>
1
2
}
分析:由f'(x)<2,可设g(x)=f(x)-2x,求导得g'(x)<0,知g(x)在定义域内是减函数;又g(1)=0,根据单调性知x>1时,g(x)<0,即f(x)<2x,从而得f(2x)<4x的解集.
解答:解:设g(x)=f(x)-2x,则
g'(x)=f'(x)-2<0,∴g(x)在定义域R内是减函数;
又g(1)=f(1)-2×1=2-2=0,
∴当x<1时,g(x)=f(x)-2x>g(1)=0,即:f(x)>2x;
当x>1时,g(x)=f(x)-2x<g(1)=0,即:f(x)<2x;
∴不等式f(2x)<4x的解集为:2x>1,即x>
1
2

故答案为:{x|x>
1
2
}.
点评:本题考查了用导数判定函数的调性的应用,并且用构造函数法来解答这个问题,属于不容易想到的问题.
练习册系列答案
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①f(-1)=2;②x<0时,f(x)>1;③对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y);
(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判断函数f(x)的单调性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
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的解集.

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