Question

设f(x)=x²-bx+c(a＞0)且满足f(1+x)=f(1-x).

(1)若f(7+|t|)＞f(1+t²),求实数t的取值范围;

(2)求a²+b²-2(a+b)的最小值.

Answer 1

解:(1)依题意,知f(x)是开口向上,对称轴为x=1的抛物线.

∵-=1,

∴ab=2(a＞0,b＞0).

∵7+|t|≥7＞1,1+t²≥1,

    又f(x)在［1,+∞)上是单调递增的,

∴7+|t|＞1+t².∴|t|²-|t|-6＜0.

∴-2＜|t|＜3,即0≤|t|＜3.

∴-3＜t＜3.

(2)令u=a+b,∵a＞0,b＞0,ab=2,

∴u=a+b≥2=2.

    当且仅当a=b=时,u取最小值2.

    于是a²+b²-2(a+b)=(a+b)²-2ab-2(a+b)=u²-2u-4=(u-1)²-5.

∵u≥2,∴u=2时,a²+b²-2(a+b)取最小值为(2-1)²-5=4-4.