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已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点,求证MN∥平面β.

答案:
解析:

  证法1:(1)若AB、CD在同一平面内,则平面ABCD与α、β的交线为AC、BD.

  ∵α∥β,∴AC∥BD.

  又M、N为AB、CD的中点,∴MN∥BD.

  又BD平面β,∴MN∥平面β

  (2)若AB、CD不共面,如图,过A作AQ∥CD交平面β于Q,取AQ中点P,连MP、PN、BQ、QD.

  ∵AQ∥CD,∴AQ、CD确定一个平面γ,

  且γ∩α=AC,γ∩β=QD.

  又α∥β,∴AC∥QD.

  又P、N为AQ、CD中点,∴PN∥QD.

  又M、P为AB、AQ中点,∴MP∥BQ.

  ∴平面MPN∥平面β,又MN平面MPN.

  ∴MN∥平面β.

  证法2:(1)若AB、CD在同一平面内,与证法1相同.

  (2)若AB、CD不共面,如图.

  过M作直线EF∥CD,交α、β于E、F

  ∵AB∩EF=M,∴AB、EF确定一个平面γ.

  平面γ∩α=AE,平面γ∩β=BF.

  ∴AE∥BF.

  又M为AB中点,∴M为EF的中点.

  又EF∥CD,EF、CD确定平面与α、β的交线为EC、FD.

  ∴EFDC为平行四边形.

  又M、N分别为EF、CD的中点,

  ∴MN∥FD.

  又FD平面β,∴MN∥平面β.


提示:

  分析:要证线面平行,可先证线线平行或面面平行.

  解题心得:本题证明过程体现了证线面平行的两种基本方法,解题要防止把AB、CD看成同一平面内的线段而直接用平面几何知识证明的错误.


练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下面给出五个命题:
①已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在α,β间的线段,若AB∥CD,则AB=CD;
②a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c一定是异面直线;
③三棱锥的四个面可以都是直角三角形.
④平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ⊆α;
⑤三棱锥中若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也一定互相垂直;
其中正确的命题编号是
①③④⑤
①③④⑤
(写出所有正确命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

下面给出的几个命题中:
①若平面α∥平面β,AB,CD是夹在α,β间的线段,若AB∥CD,则AB=CD;
②a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c一定是异面直线;
③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面α垂直;
④平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ?α;
⑤若点P到三角形三个顶点的距离相等,则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心;
⑥a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.
其中正确的命题是
①④⑤
①④⑤

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知平面α∥平面β,AB、CD是夹在平面α和平面β间的两条线段,点E、F分别在AB、CD上,且
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
.求证:EF∥α∥β.

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科目:高中数学 来源:学习高手必修二数学苏教版 苏教版 题型:047

已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点,求证:MN∥平面α.

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