Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项公式为bn=

1

n

，求数列{

an

bn

}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1的关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{

an

bn

}的通项公式，然后利用错位相减法即可求出数列{

an

bn

}的前项和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-1．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是公比q=2的等比数列，
∴an=2n-1；
（2）∵an=2n-1，bn=

1

n

，
∴

an

bn

=n?2n-1，
∴Tn=1?20+2?2+3?22+???+n?2n-1   ①
2Tn=1?2+2?22+???+(n-1)?2n-1+n?2n  ②，
两式相减得：
-Tn=1+2+22+???+2n-1-n?2n=

1?(1-2n)

1-2

-n?2n=-（n-1）?2ⁿ-1．
故：Tn=(n-1)•2n+1．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和的内容，考查学生的计算能力．