Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成角为θ，点B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若点D恰为BC中点，且AB₁⊥BC₁，求θ的大小；
（III）若θ=arccos

1

3

，且当AC=BC=AA₁=a时，求二面角C-AB-C₁的大小．

Answer 1

分析：（I）要证：AC⊥平面BB₁C₁C，只需证明B₁D⊥AC，BC⊥AC即可；
（II）点D恰为BC中点，且AB₁⊥BC₁，作出侧棱与底面所成角，然后求θ的大小；
（III）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求二面角C-AB-C₁的大小．

解答：（本小题满分12分）
解：（I）∵B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，∴AC⊥平面BB₁C₁C（3分）

（II）

AB1⊥BC1 AC⊥BC1 AB1与AC相交

?

BC1⊥平面AB1C B1C?平面AB1C

?BC1⊥B1C
∴四边形BB₁C₁C为菱形，（5分）
又∵D为BC的中点，BD⊥平面ABC
∴∠B₁BC为侧棱和底面所成的角α，∴cos∠B1BC=

1

2

∴∠B₁BC=60°，即侧棱与底面所成角60°．（8分）

（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C1(0，-

a

3

，

2 2

3

a)，
平面ABC的法向量n₁=（0，0，1），设平面ABC₁的法向量为n₂=（x，y，z），
由

n2• AB =0 n2• BC1 =0

，即

-x+y=0 - 4 3 y+ 2 2 3 x=0

，n2=(

2

2

，

2

2

，1)（10分）
cos＜n1，n2＞=

2

2

，＜n₁，n₂＞=45°，
∵二面角C-AB-C₁大小是锐二面角，
∴二面角C-AB-C₁的大小是45°（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，线面角和二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑思维能力，是中档题．