Question

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}$，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形或直角三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可得4a=3b，由$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}$，利用余弦定理整理可得（a²+b²）（a²-b²）=c²（a²-b²），从而可求a²+b²=c²，利用勾股定理即可得解．

解答 解：∵4sinA=3sinB，
∴4a=3b，
∵$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}$，可得：$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}}$=$\frac{b}{a}$，整理可得：（a²+b²）（a²-b²）=c²（a²-b²），
∴a²-b²=0，或a²+b²=c²，
∴a²+b²=c²，或a=b（舍去）
∴△ABC的形状是直角三角形．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．