Question

1．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥面ABCD，AE⊥PB于E；
（1）求证：PB⊥面ACE；
（2）若AB=1，PD=2，求二面角A-PB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结DB交AC于点O，只需证明AC⊥DB，得到AC⊥面PDB，即可证明PB⊥面ACE
（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2）
由（1）得面DPB的法向量为$\overrightarrow{A}=（-1，1，0）$．求出面APB的法向量，利用向量夹角公式即可求解．

解答 解：（1）证明：连结DB交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥DB
又∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC，且PD∩DB=D，∴AC⊥面PDB，
∴AC⊥PB，又∵AE⊥PB，AE∩AC=A，∴PB⊥面ACE

（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2）
由（1）得面DPB的法向量为$\overrightarrow{A}=（-1，1，0）$．
设面APB的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AB}=（0，1，0）$$\overrightarrow{AP}=（-1，0，2）$．
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-x+2z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（2，0，1）$，
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AC}$＞=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
设二面角A-PB-D为θ，θ的正切值tanθ=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．