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    15．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最高点D的坐标为（$\frac{π}{8}$，2），由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x的交点的坐标为（$\frac{3π}{8}$，0）；
    （1）求函数f（x）的解析式．
    （2）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
    （3）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调减区间及对称中心．

    分析 （1）由已知可求T，利用周期公式可求ω，由函数经过点D的坐标为（$\frac{π}{8}$，2），可得2×$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ=$\frac{π}{4}$，即可得解函数的解析式．
    （2）由已知可求2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，利用正弦函数的性质可求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
    （3）利用三角函数平移变换可求g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的单调性，对称性即可得解．

    解答 解：（1）∵由最高点D（$\frac{π}{8}$，2）运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点为（$\frac{3π}{8}$，0），
    所以周期的四分之一即$\frac{T}{4}$=$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{4}$，∴T=π，又T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
    因为函数经过点D的坐标为（$\frac{π}{8}$，2），代入函数解析式得2sin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=2，
    所以2×$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
    又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
    所以φ=$\frac{π}{4}$，
    ∴函数的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）
    （2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
    所以2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即x=-$\frac{π}{4}$时；函数f（x）有最小值-$\sqrt{2}$，
    2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时；函数f（x）有最大值2．
    （3）由题意g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，
    ∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）因为正弦函数y=sinx的减区间是[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z
    所以有2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，
    故函数g（x）的减区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z，
    令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
    可得函数y=g（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z．

    点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．

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