Question

（2012•郑州二模）已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为

5

，圆C与离心率e＞

1

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的其中一个公共点为A（3，l），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（I）求圆C的标准方程；
（II）若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF₁与圆C能否相切？若能，设直线PF₁与椭圆E相交于A，B两点，求△ABF₂的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可设圆C的方程，把点A的坐标代入圆C的方程，可求m，进而可求圆的方程
（Ⅱ）设直线PF₁的方程，由直线PF₁与圆C相切的性质，利用点到直线的距离公式可求k，进而求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义得：2a=AF₁+AF₂求出a，结合e可求c，即可求出椭圆方程，直线PF₁的方程，联立方程，结合方程的根与系数关系代入S△ABF2=4|y₁-y₂|=4

(y1+y2)2-4y1y2

可求

解答：解：（Ⅰ）由已知可设圆C的方程为（x-m）²+y²=5（m＜3）
将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）²+1=5，
解得m=1或m=5．
∵m＜3，
∴m=1．
∴圆C的方程为（x-1）²+y²=5．…（4分）
（Ⅱ）直线PF₁能与圆C相切，
依题意设直线PF₁的方程为y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直线PF₁与圆C相切，则

|k-0-4k+4|

1+k2

=

5

．
∴4k²-24k+11=0，解得k=

1

2

或k=

11

2

．…（7分）
当k=

11

2

时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为

36

11

，不合题意，舍去．
当k=

1

2

时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为-4，
∴c=4，，F₁（-4，0），F₂（4，0）
∴由椭圆的定义得：2a=AF₁+AF₂=

(3+4)2+1

+

(3-4)2+1

=6

2

∴a=3

2

，即a²=18，
∴e=

4

3 2

=

2 2

3

＞

1

2

，
故直线PF₁能与圆C相切．…（10分）
直线PF₁的方程为x-2y+4=0，椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

2

=1．
把直线方程代入椭圆方程并化简得，13y²-16y-2=0．
故S△ABF2=4|y₁-y₂|=4

(y1+y2)2-4y1y2

=4

( 16 13 )2-4× -2 13

=

24 10

13

．…（12分）

点评：本题 主要考查了圆的标准方程的求解，直线与圆相切性质的应用及椭圆定义的应用，方程的根与系数关系的应用，试题具有一定综合性