Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+x-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）只需求出x≥0时的表达式即可．当x=0时，由奇函数定义可得f（0）；当x＞0时，先求出f（-x），然后由f（-x）与f（x）的关系可得f（x），从而得到f（x）的解析式；
（2）分x＞0，x＜0两种情况表示出不等式f（x）＞0，分别解出后再求并集即可；

解答：解：（1）当x=0时，因f（x）是奇函数，有f（-x）=-f（x），
所以f（0）=-f（0），得f（0）=0．
设x＞0，则-x＜0，则f（-x）=（-x）²+（-x）-2=x²-x-2．
由f（x）是奇函数，f（-x）=-f （x），
得 f（x）=-x²+x+2，x＞0．
∴f（x）=

-x2+x+2，x＞0 0，x=0 x2+x-2，x＜0

；
（2）由

x＞0 -x2+x+2＞0

，得

x＞0 (x-2)(x+1)＜0

⇒0＜x＜2．
由

x＜0 x2+x-2＞0

，得

x＜0 (x+2)(x-1)＞0

⇒x＜-2．
综上所述，不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}．

点评：本题考查函数奇偶性的性质及其应用、一元二次不等式的解法，属中档题．