Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值，即可求出夹角的大小．

解答 解：设非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即2${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-|$\overrightarrow{a}$|×4|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是基础题目．