Question

4．已知：tan（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{2}{3}$，（$\frac{π}{2}$＜α＜π）．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{sin2α-2co{s}^{2}α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式求得tanα的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系、及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，再利用二倍角公式、两角差的正弦公式求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=-$\frac{2}{3}$，（$\frac{π}{2}$＜α＜π），∴tanα=-5．
（2）∵tanα=-5=$\frac{sinα}{cosα}$，∴α为钝角，∴sinα＞0，cosα＜0，
 再结合sin²α+cos²α=1，可得cosα=-$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
∴$\frac{sin2α-2co{s}^{2}α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{2sinαcosα-{2cos}^{2}α}{sinα•\frac{\sqrt{2}}{2}-cosα•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$cosα=-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．