Question

1．若函数f（x）=2x³-3mx²+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 求f′（x）=6x²-6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x²-6mx+6，法一：讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出-2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，此时求出m的范围即可．

解答 解：f′（x）=6x²-6mx+6；
由已知条件知x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；
设g（x）=6x²-6mx+6，则g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；
法一：（1）若△=36（m²-4）≤0，即-2≤m≤2，满足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；
（2）若△=36（m²-4）＞0，即m＜-2，或m＞2，
则需：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜1}\\{g（1）=6-6m≥0}\end{array}\right.$解得m≤2；
∴m＜-2，
∴综上得m≤2，
∴实数m的取值范围是（-∞，2]；
法二：问题转化为m≤x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，
而函数y=x+$\frac{1}{x}$≥2，
故m≤2；
故选：C．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．