Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{{a}_{n}}^{2}$，求数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，∴a₁=2a₁-$\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-$\frac{1}{2}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，化为：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为2．
∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）b_n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{{a}_{n}}^{2}$=-$lo{g}_{2}{2}^{2n-4}$=4-2n．
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{4-2n}{{2}^{n-2}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n-3}}$．
∴数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{{2}^{-2}}$+0-1-$\frac{2}{2}$-$\frac{3}{{2}^{2}}$-…-$\frac{n-2}{{2}^{n-3}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{-1}}$+0-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{2}^{2}}$-…-$\frac{n-3}{{2}^{n-3}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n-2}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{-2}}$-$\frac{1}{{2}^{-1}}$-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$-…-$\frac{1}{{2}^{n-3}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n-2}}$=4-$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n-2}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{n}{{2}^{n-3}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．