Question

14．已知实数x，y满足x²+y²≤1，3x+4y≤0，则$\frac{x-3}{x-y-2}$的取值范围是（　　）

• A． [1，4]
• B． [$\frac{19}{17}$，4]
• C． [1，$\frac{11}{3}$]
• D． [$\frac{19}{17}$，$\frac{11}{3}$]

Answer 1

分析 画出x²+y²≤1，3x+4y≤0，表示区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解即可．

解答 解：实数x，y满足x²+y²≤1，3x+4y≤0，表示的区域如图：
则$\frac{x-3}{x-y-2}$=$\frac{1}{\frac{x-y-2}{x-3}}$=$\frac{1}{1-\frac{y-1}{x-3}}$，$\frac{y-1}{x-3}$表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$解得A（$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．B（-$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），k_PB=$\frac{1-\frac{3}{5}}{3+\frac{4}{5}}$=$\frac{2}{19}$
则$\frac{x-3}{x-y-2}$=$\frac{-\frac{4}{5}-3}{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}-2}$=$\frac{19}{17}$，
令y-1=k（x-3），可得kx-y-3k+1=0，
由题意可得：$\frac{|1-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，可得k=0或k=$\frac{3}{4}$，
$\frac{y-1}{x-3}$∈[$\frac{2}{19}$，$\frac{3}{4}$]，
1-$\frac{y-1}{x-3}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{17}{19}$]．
∴$\frac{x-3}{x-y-2}$∈[$\frac{19}{17}$，4]．
故选：B．

点评 本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义的转化与求解是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．