Question

9．设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则点D₁到平面A₁BD的距离是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 设点D₁到平面A₁BD的距离是h，由${V}_{{D}_{1}-{A}_{1}BD}$=${V}_{B-{A}_{1}D{D}_{1}}$，可得$\frac{1}{3}h•{S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}D}$•AB，即可得出．

解答 解：如图所示，△A₁BD是边长为2$\sqrt{2}$的等边三角形，
∴${S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×$$（2\sqrt{2}）^{2}$=$2\sqrt{3}$，
设点D₁到平面A₁BD的距离是h，
由${V}_{{D}_{1}-{A}_{1}BD}$=${V}_{B-{A}_{1}D{D}_{1}}$，可得$\frac{1}{3}h•{S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}D}$•AB，
∴$\frac{1}{3}×h×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$，
解得h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了正方体的性质、等边三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式、“等积变形”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．