Question

15．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AB、CD的中点．
（1）证明：BN⊥平面PCD；
（2）在线段PC上是否存在点H，使得MH与平面PCD所成最大角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，若存在，请求出H点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证明：BN⊥CD，PD⊥BN，即可证明BN⊥平面PCD；
（2）假设线段PC上存在一点H，连接MH，DH，MD，可得∠MHD为MH与平面PCD所成的角，在直角三角形MDH中，$DM=\sqrt{3}$，当DH最小，即DH⊥PC时，∠DHM最大，利用条件求出CH，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=∠BAD=60°
∴△BCD为正三角形，∵N为CD中点，所以BN⊥CD…（2分）
∵PD⊥平面ABCD，BN?平面ABCD，∴PD⊥BN，…．（4分）
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，CD∩PD=D，∴BN⊥平面PCD…6 分
（2）解：假设线段PC上存在一点H，连接MH，DH，MD，
MBDN为平行四边形，∴MD∥BN，
由（1）BN⊥平面PCD∴MD⊥平面PCD，∴∠MHD为MH与平面PCD所成的角…（9分）
在直角三角形MDH中，$DM=\sqrt{3}$，当DH最小，即DH⊥PC时，∠DHM最大，
$tan∠DHM=\frac{DM}{DH}=\frac{{\sqrt{3}}}{DH}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$DH=\sqrt{2}$
在Rt△DHC中$DH=\sqrt{2}，CD=2$，∴$CH=\sqrt{2}$…（11分）
∴线段PC上存在点H，当$CH=\sqrt{2}$时，使MH与平面PCD所成最大角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．