Question

5．已知扇环如图所示，∠AOB=120°，OA=2，OA′=$\frac{1}{2}$，P是扇环边界上一动点，且满足$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则2x+y的取值范围为[$\frac{1}{4}$，$\frac{2\sqrt{21}}{3}$]．

Answer 1

分析 记$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$的夹角为θ，$θ∈[0，\frac{2π}{3}]$．设$\overrightarrow{OA}$为直角坐标系的x轴．
$\overrightarrow{OP}$=（rcosθ，rsinθ）（$\frac{1}{2}$≤r≤2），$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=（-1，$\sqrt{3}$），
代入$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，得有（rcosθ，rsinθ）=（2x，0）+（-y，$\sqrt{3}$y），
⇒rcosθ=2x-y，rsinθ=$\sqrt{3}$y，故2x+y=rcosθ+$\frac{2r}{\sqrt{3}}sinθ$=r（$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$），运用三角函数的知识求解．

解答 解：记$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$的夹角为θ，$θ∈[0，\frac{2π}{3}]$．设$\overrightarrow{OA}$为直角坐标系的x轴．
$\overrightarrow{OP}$=（rcosθ，rsinθ）（$\frac{1}{2}$≤r≤2），$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=（-1，$\sqrt{3}$），
代入$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，得有（rcosθ，rsinθ）=（2x，0）+（-y，$\sqrt{3}$y），
⇒rcosθ=2x-y，rsinθ=$\sqrt{3}$y，
故2x+y=rcosθ+$\frac{2r}{\sqrt{3}}sinθ$=r（$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$）
$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$=$\frac{\sqrt{21}}{3}（sinθ×\frac{2}{\sqrt{7}}+cosθ×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）$=$\frac{\sqrt{21}}{3}sin（θ+β）$，其中cosβ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sin$β=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．
又∵$θ∈[0，\frac{2π}{3}]$．$\frac{\sqrt{21}}{3}sin（θ+β）$可以取到最大值$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
当θ=0时．$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$=1，当θ=120⁰时．$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]，
$\frac{1}{2}r$≤2x+y$≤\frac{\sqrt{21}}{3}r$．∵$\frac{1}{2}$≤r≤2，∴$\frac{1}{4}$≤2x+y≤$\frac{2\sqrt{21}}{3}$
故答案为：[$\frac{1}{4}$，$\frac{2\sqrt{21}}{3}$]

点评 本题考查了向量的基本定义即三角恒等变形、函数性质，属于压轴题．