Question

7．已知函数f（x）=|log₄x|，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=2f（n），若f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，则m+n=（　　）

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{9}{4}$或$\frac{3}{4}$
• D． $\frac{5}{2}$或$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意可知0＜m＜1＜n，以及mn²=1，再f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2可得出f（m²）=2求出m，故可得m+n的值．

解答 解：由对数函数的性质知
∵f（x）=|log₄x|正实数m、n满足m＜n，且f（m）=2f（n），
∴0＜m＜1＜n，以及mn²=1，
又函数在区间[m²，n]上的最大值为2，由于f（m）=2f（n），f（m²）=2f（m）
故可得f（m²）=2，即|log₄m²|=2，即log₄m²=-2，即m²=$\frac{1}{16}$，可得m=$\frac{1}{4}$，n=2
则m+n=$\frac{9}{4}$
故选：A

点评 本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜m＜1＜n，以及mn²=1及f（x）在区间[m²，n]上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．