Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，
（1）分别求方程f（x）=1，方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根的个数；
（2）试求关于x的函数y=2f²（x）-3f（x）+1的零点个数．

Answer 1

分析 （1）作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$的图象，从而化方程的根的个数为函数的图象的交点的个数；
（2）令2f²（x）-3f（x）+1=0得f（x）=1或f（x）=$\frac{1}{2}$，从而解得．

解答 解：（1）作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$的图象如下，
，
结合图象可知，函数f（x）与y=1有三个不同的交点，
函数f（x）与y=$\frac{1}{2}$有四个不同的交点，
故方程f（x）=1有3个不同的根，方程f（x）=$\frac{1}{2}$有4个不同的根．
（2）令2f²（x）-3f（x）+1=0得，
f（x）=1或f（x）=$\frac{1}{2}$，
结合（1）知，方程2f²（x）-3f（x）+1=0有7个不同的根，
故关于x的函数y=2f²（x）-3f（x）+1的零点个数为7．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．