Question

设f(log2x)=x+

a

x

（a是常数）．
（1）求f （x）的表达式；
（2）如果f （x）是偶函数，求a的值；
（3）当f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

（1）令t=log₂x，则x=2^t，于是f(t)=2t+

a

2t

∴f(x)=2x+

a

2x

（3分）
（2）∵f（x）是偶函数，∴2-x+

a

2-x

=2x+

a

2x

对任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x+

1

2x

)=0对任意x∈R恒成立
∴a-1=0，即a=（16分）
（3）f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在区间（0，+∞）上是增函数，
证明如下
f(x)=2x+

1

2x

，设0＜x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=(2x2+

1

2x2

)-(2x1+

1

2x1

)=(2x2-2x1)(1-

1

2x1+x2

)（8分）
∵x₁＜x₂，且y=2^x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂＞0，∴2x1+x2＞1  ?

1

2x1+x2

＜1（10分）
故1-

1

2x1+x2

＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数．（12分）