Question

9．已知函数f（x）=1-cos²（x-$\frac{5π}{12}$），g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）在$x∈（{-\frac{π}{2}，0}）$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数对称轴的性质确定x₀的值，然后代入求值即可．
（2）求出函数h（x）=f（x）+g（x）的解析式，由$x∈（{-\frac{π}{2}，0}）$，可得2x+$\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）f（x）=cos²（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）$，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z．
因为x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以x₀=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z．
所以g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin2（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$）=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$），
若k是偶数，则g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，
若k是奇数，则g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5}{4}$．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos（2x$+\frac{π}{6}$）+1+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
因为$x∈（{-\frac{π}{2}，0}）$，
所以：2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$），sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
所以：h（x）∈[1，$\frac{6+\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题主要考查三角函数的化简以及倍角公式，辅助角公式的应用，综合性较强，属于中档题．