Question

4．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展开式的系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的系数和大992．求在（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中：
（1）常数项（用数字表示）；
（2）二项式系数最大的项．．

Answer 1

分析 由已知的两个二项式的系数关系得到n，然后求出（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式通项，化简后取字母指数．

解答 解：由题意得（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展开式的系数和为2²ⁿ比（3x-1）ⁿ的展开式的系数和2ⁿ大992，所以2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5，
所以（2x-$\frac{1}{x}$）¹⁰的展开式通项为${C}_{10}^{r}（2x）^{10-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=${C}_{10}^{r}（-1）^{r}{2}^{10-r}{x}^{10-2r}$，令10-2r=0，则r=5，所以常数项为${C}_{10}^{5}（-1）^{5}{2}^{5}=-8064$；
（2）在（2x-$\frac{1}{x}$）¹⁰的展开式二项式系数最大的为${C}_{10}^{5}$，所以二项式系数最大的项为-8064．

点评 本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项，由此确定特征项．